04/04/2008 Fuente: Reasons To Believe

Viernes 4 de abril de 2008

¿Qué es esto de las 'dimensiones superiores'? (4)

David H. Rogstad

Esta es la cuarta parte de una discusión sobre las dimensiones superiores. En la primera parte mencioné un cuento de Robert A. Heinlein en el cual un cubo cuatridimensional (hipercubo) jugaba un papel en el cuento. Prometí allí hablar un poco sobre lo que decía el cuento sobre los hipercubos. Bueno, aquí va.


¿Hay alguna forma sencilla para que un lego piense en dimensiones espaciales superiores a los tres que la mente puede manejar? ¿Puede lograrse la suficiente perspectiva como para permitir que la persona promedio evalúe el mérito del enfoque de “dimensiones superiores”? La respuesta a estas preguntas parece ser “sí”. Sin embargo, el propósito de la breve discusión que sigue no es ser exhaustivo sino simplemente dar algunos ejemplos tomados del dominio de la geometría que el lector pueda visualizar fácilmente. Debe señalarse que agregar una nueva dimensión al tratamiento de un problema aumenta la complejidad de las soluciones posibles de formas que exceden en mucho a la geometría. Pero, para cualquiera que esté interesado en analizar el potencial de este enfoque, la geometría ofrece una forma más fácil de entender algunas de las propiedades agregadas.


Uno de los axiomas tácitos de la matemática sostiene que es imposible para la mente humana visualizar un objeto con dimensiones superiores a las tres en las que reside la mente. Si bien es posible, con la matemática, analizar objetos en dimensiones superiores, la mente no puede comprender intuitivamente sus propiedades. Así que, por ejemplo, el autor del cuento de la “casa” que se menciona en la primera parte pudo usar las propiedades de un cubo cuatridimensional para contar un buen cuento, pero su arquitecto pudo construir sólo un cubo “desplegado”. La única forma de visualizar objetos en dimensiones superiores es proyectar (o alternativamente, desplegar) esos objetos en una dimensión inferior.


He hecho algunos dibujos (ver Figura 1 [Figure 1]: Objetos en 0, 1, 2 y 3 dimensiones, en el artículo original) para ayudar a “ver” los efectos que surgen de dimensiones superiores. El la figura 1, el primer objeto (a la izquierda) es un único punto. Esto representa un objeto cerodimensional (0-D) porque no tiene largo, ancho o alto (por supuesto, para dibujarlo, así como los demás objetos del diagrama, es necesario darle un poco de cada dimensión). El siguiente objeto en la figura es un segmento de recta, y es unidimensional (1-D). Tiene largo, pero ninguna otra propiedad. El tercer objeto es un cuadrado, y es obviamente bidimensional (2-D) ya que tiene tanto largo como ancho. Finalmente, el cuarto es un cubo tridimensional (3-D) que está proyectado sobre dos dimensiones. A veces los matemáticos se refieren a los cuatro objetos como “cubos” de distintas dimensiones. Así que el cuadrado se denominaría un cubo de dos dimensiones, mientras que la recta se denominaría un cubo de una dimensión. El punto podría ser llamado un cubo de cero dimensiones, pero posiblemente no les diga mucho este tipo de descripción a los legos. Tal vez sea suficiente geometría por un día.

 

Seguimos la semana próxima.


Traducción: Alejandro Field
Artículo original: “What’s All This Higher Dimensionality Stuff?” Part 4



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